По полученным параметрам Q = 5814 и , используя таблицу ординат гамма-распределения, строят верхнюю часть распределения - усеченное распределение (рисунок А.4). Как следует из рисунка А.4, аналитическая кривая соответствует эмпирическим точкам.

┌───────────────────────────────────┬────────────────────────────────────┐
│                Год                │             Хи_i, м3/с             │
├───────────────────────────────────┼────────────────────────────────────┤
│               1878                │                5930                │
├───────────────────────────────────┼────────────────────────────────────┤
│               1879                │                6080                │
├───────────────────────────────────┼────────────────────────────────────┤
│               1880                │                8630                │
├───────────────────────────────────┼────────────────────────────────────┤
│               1881                │                4650                │
├───────────────────────────────────┼────────────────────────────────────┤
│               1882                │              (16200)               │
├───────────────────────────────────┼────────────────────────────────────┤
│               1883                │                5310                │
├───────────────────────────────────┼────────────────────────────────────┤
│               1884                │                3940                │
├───────────────────────────────────┼────────────────────────────────────┤
│               1885                │                3980                │
├───────────────────────────────────┼────────────────────────────────────┤
│               1886                │                5740                │
├───────────────────────────────────┼────────────────────────────────────┤
│               1887                │                8040                │
├───────────────────────────────────┼────────────────────────────────────┤
│               1888                │               10170                │
├───────────────────────────────────┼────────────────────────────────────┤
│               1889                │                7220                │
├───────────────────────────────────┼────────────────────────────────────┤
│               1890                │                4200                │
├───────────────────────────────────┼────────────────────────────────────┤
│               1891                │                3060                │
├───────────────────────────────────┼────────────────────────────────────┤
│               1892                │                7020                │
├───────────────────────────────────┼────────────────────────────────────┤
│               1893                │                4500                │
├───────────────────────────────────┼────────────────────────────────────┤
│               1894                │                6500                │
├───────────────────────────────────┼────────────────────────────────────┤
│               1895                │                4650                │
├───────────────────────────────────┼────────────────────────────────────┤
│               1896                │                4000                │
├───────────────────────────────────┼────────────────────────────────────┤
│               1897                │                5740                │
├───────────────────────────────────┼────────────────────────────────────┤
│               1898                │                6000                │
├───────────────────────────────────┼────────────────────────────────────┤
│               1899                │               12400                │
├───────────────────────────────────┼────────────────────────────────────┤
│               1900                │                3820                │
├───────────────────────────────────┼────────────────────────────────────┤
│               1901                │                5590                │
├───────────────────────────────────┼────────────────────────────────────┤
│               1902                │                9540                │
├───────────────────────────────────┼────────────────────────────────────┤
│               1903                │                7960                │
├───────────────────────────────────┼────────────────────────────────────┤
│               1904                │                4020                │
├───────────────────────────────────┼────────────────────────────────────┤
│               1905                │                5020                │
├───────────────────────────────────┼────────────────────────────────────┤
│               1906                │                4890                │
├───────────────────────────────────┼────────────────────────────────────┤
│               1907                │                3670                │
├───────────────────────────────────┼────────────────────────────────────┤
│               1908                │                6160                │
├───────────────────────────────────┼────────────────────────────────────┤
│               1909                │                5590                │
├───────────────────────────────────┼────────────────────────────────────┤
│               1910                │                3550                │
├───────────────────────────────────┼────────────────────────────────────┤
│               1911                │                5340                │
├───────────────────────────────────┼────────────────────────────────────┤
│               1912                │                6160                │
├───────────────────────────────────┼────────────────────────────────────┤
│               1913                │                5770                │
├───────────────────────────────────┼────────────────────────────────────┤
│               1914                │               13000                │
├───────────────────────────────────┼────────────────────────────────────┤
│               1915                │                3690                │
├───────────────────────────────────┼────────────────────────────────────┤
│               1916                │               13800                │
├───────────────────────────────────┼────────────────────────────────────┤
│               1917                │                6040                │
├───────────────────────────────────┼────────────────────────────────────┤
│               1918                │                4680                │
├───────────────────────────────────┼────────────────────────────────────┤
│               1919                │                9660                │
├───────────────────────────────────┼────────────────────────────────────┤
│               1920                │                5590                │
├───────────────────────────────────┼────────────────────────────────────┤
│               1921                │                5530                │
├───────────────────────────────────┼────────────────────────────────────┤
│               1922                │                6120                │
├───────────────────────────────────┼────────────────────────────────────┤
│               1923                │                9820                │
├───────────────────────────────────┼────────────────────────────────────┤
│               1924                │                3350                │
├───────────────────────────────────┼────────────────────────────────────┤
│               1925                │                6000                │
├───────────────────────────────────┼────────────────────────────────────┤
│               1926                │               11200                │
├───────────────────────────────────┼────────────────────────────────────┤
│               1927                │               11500                │
├───────────────────────────────────┼────────────────────────────────────┤
│               1928                │                4950                │
├───────────────────────────────────┼────────────────────────────────────┤
│               1929                │                8420                │
├───────────────────────────────────┼────────────────────────────────────┤
│               1930                │                4380                │
├───────────────────────────────────┼────────────────────────────────────┤
│               1931                │                2840                │
├───────────────────────────────────┼────────────────────────────────────┤
│               1932                │                6900                │
├───────────────────────────────────┼────────────────────────────────────┤
│               1933                │                4180                │
├───────────────────────────────────┼────────────────────────────────────┤
│               1934                │                5380                │
├───────────────────────────────────┼────────────────────────────────────┤
│               1935                │                2120                │
├───────────────────────────────────┼────────────────────────────────────┤
│               1936                │                4280                │
├───────────────────────────────────┼────────────────────────────────────┤
│               1937                │                3020                │
├───────────────────────────────────┼────────────────────────────────────┤
│               1938                │                4990                │
├───────────────────────────────────┼────────────────────────────────────┤
│               1939                │                3800                │
├───────────────────────────────────┼────────────────────────────────────┤
│               1940                │                3890                │
├───────────────────────────────────┼────────────────────────────────────┤
│               1941                │                6800                │
├───────────────────────────────────┼────────────────────────────────────┤
│               1942                │                7250                │
├───────────────────────────────────┼────────────────────────────────────┤
│               1943                │                7560                │
├───────────────────────────────────┼────────────────────────────────────┤
│               1944                │                3620                │
├───────────────────────────────────┼────────────────────────────────────┤
│               1945                │                3570                │
├───────────────────────────────────┼────────────────────────────────────┤
│               1946                │                8760                │
├───────────────────────────────────┼────────────────────────────────────┤
│               1947                │               11400                │
├───────────────────────────────────┼────────────────────────────────────┤
│               1948                │                8320                │
├───────────────────────────────────┼────────────────────────────────────┤
│               1949                │                6880                │
├───────────────────────────────────┼────────────────────────────────────┤
│               1950                │                3270                │
├───────────────────────────────────┼────────────────────────────────────┤
│               1951                │                5860                │
├───────────────────────────────────┼────────────────────────────────────┤
│               1952                │                3620                │
├───────────────────────────────────┼────────────────────────────────────┤
│               1953                │                3840                │
├───────────────────────────────────┼────────────────────────────────────┤
│               1954                │                4400                │
├───────────────────────────────────┼────────────────────────────────────┤
│               1955                │               (3110)               │
├───────────────────────────────────┼────────────────────────────────────┤
│               1956                │                5380                │
├───────────────────────────────────┼────────────────────────────────────┤
│               1957                │                9580                │
├───────────────────────────────────┼────────────────────────────────────┤
│               1958                │                5100                │
├───────────────────────────────────┼────────────────────────────────────┤
│               1959                │                7100                │
├───────────────────────────────────┼────────────────────────────────────┤
│               1960                │                4140                │
├───────────────────────────────────┼────────────────────────────────────┤
│               1961                │                3740                │
├───────────────────────────────────┼────────────────────────────────────┤
│               1962                │                3470                │
├───────────────────────────────────┼────────────────────────────────────┤
│               1963                │                8180                │
├───────────────────────────────────┼────────────────────────────────────┤
│               1964                │                7070                │
├───────────────────────────────────┼────────────────────────────────────┤
│              Среднее              │                6094                │
└───────────────────────────────────┴────────────────────────────────────┘

┌───────────────────────────────────┬────────────────────────────────────┐

Таблица А.5 - Расчет параметров усеченного гамма-распределения по данным наблюдений за максимальными расходами воды р. Белой у г. Уфы

┌─────────────┬─────────┬───────────┬────────────────────────────────────┐
│ Xи_i, м3/с  │   Год   │   Xи_i /  │             In Xи_i /              │
│ (из таблицы │         │           │                  ─                 │
│    А.4)     │         │  ─        │                  Xи_n/2            │
│             │         │  Xи_n/2   │                                    │
├─────────────┼─────────┼───────────┼────────────────────────────────────┤
│    16200    │  1882   │   1,992   │              0,29929               │
├─────────────┼─────────┼───────────┼────────────────────────────────────┤
│    13800    │  1916   │   1,697   │              0,22968               │
├─────────────┼─────────┼───────────┼────────────────────────────────────┤
│    13000    │  1914   │   1,599   │              0,20385               │
├─────────────┼─────────┼───────────┼────────────────────────────────────┤
│    12400    │  1899   │   1,525   │              0,18327               │
├─────────────┼─────────┼───────────┼────────────────────────────────────┤
│    11500    │  1927   │   1,414   │              0,15045               │
├─────────────┼─────────┼───────────┼────────────────────────────────────┤
│    11400    │  1947   │   1,402   │              0,14674               │
├─────────────┼─────────┼───────────┼────────────────────────────────────┤
│    11200    │  1926   │   1,377   │              0,13893               │
├─────────────┼─────────┼───────────┼────────────────────────────────────┤
│    10170    │  1888   │   1,251   │              0,09726               │
├─────────────┼─────────┼───────────┼────────────────────────────────────┤
│    9820     │  1923   │   1,208   │              0,08207               │
├─────────────┼─────────┼───────────┼────────────────────────────────────┤
│    9660     │  1919   │   1,188   │              0,07482               │
├─────────────┼─────────┼───────────┼────────────────────────────────────┤
│    8580     │  1957   │   1,178   │              0,07115               │
├─────────────┼─────────┼───────────┼────────────────────────────────────┤
│    9540     │  1902   │   1,173   │              0,06930               │
├─────────────┼─────────┼───────────┼────────────────────────────────────┤
│    8760     │  1946   │   1,077   │              0,03222               │
├─────────────┼─────────┼───────────┼────────────────────────────────────┤
│    8630     │  1880   │   1,060   │              0,02531               │
├─────────────┼─────────┼───────────┼────────────────────────────────────┤
│    8420     │  1929   │   1,035   │              0,01494               │
├─────────────┼─────────┼───────────┼────────────────────────────────────┤
│    8320     │  1948   │   1,023   │              0,00988               │
├─────────────┼─────────┼───────────┼────────────────────────────────────┤
│    8180     │  1963   │   1,006   │              0,00260               │
├─────────────┼─────────┼───────────┼────────────────────────────────────┤
│    8040     │  1887   │   0,989   │_                                   │
│             │         │           │1,99520 = -0,00480                  │
├─────────────┼─────────┼───────────┼────────────────────────────────────┤
│    7960     │  1903   │   0,979   │_                                   │
│             │         │           │1,99078 = -0,00922                  │
├─────────────┼─────────┼───────────┼────────────────────────────────────┤
│    7560     │  1943   │   0,930   │_                                   │
│             │         │           │1,96848 = -0,03152                  │
├─────────────┼─────────┼───────────┼────────────────────────────────────┤
│    7250     │  1942   │   0,892   │_                                   │
│             │         │           │1,95036 = -0,04964                  │
├─────────────┼─────────┼───────────┼────────────────────────────────────┤
│    7220     │  1889   │   0,888   │_                                   │
│             │         │           │1,94841 = -0,05159                  │
├─────────────┼─────────┼───────────┼────────────────────────────────────┤
│    7100     │  1959   │   0,873   │_                                   │
│             │         │           │1,94101 = -0,05899                  │
├─────────────┼─────────┼───────────┼────────────────────────────────────┤
│    7070     │  1964   │   0,869   │_                                   │
│             │         │           │1,93902 = -0,06098                  │
├─────────────┼─────────┼───────────┼────────────────────────────────────┤
│    7020     │  1892   │   0,863   │_                                   │
│             │         │           │1,93601 = -0,06399                  │
├─────────────┼─────────┼───────────┼────────────────────────────────────┤
│    6900     │  1932   │   0,849   │_                                   │
│             │         │           │1,92891 = -0,07109                  │
├─────────────┼─────────┼───────────┼────────────────────────────────────┤
│    6880     │  1949   │   0,846   │_                                   │
│             │         │           │1,92737 = -0,07263                  │
├─────────────┼─────────┼───────────┼────────────────────────────────────┤
│    6800     │  1941   │   0,836   │_                                   │
│             │         │           │1,92221 = -0,07779                  │
├─────────────┼─────────┼───────────┼────────────────────────────────────┤
│    6500     │  1894   │   0,799   │_                                   │
│             │         │           │1,90255 = -0,09745                  │
├─────────────┼─────────┼───────────┼────────────────────────────────────┤
│    6160     │  1908   │   0,758   │_                                   │
│             │         │           │1,87967 = -0,12033                  │
├─────────────┼─────────┼───────────┼────────────────────────────────────┤
│    6160     │  1912   │   0,758   │_                                   │
│             │         │           │1,87967 = -0,12033                  │
├─────────────┼─────────┼───────────┼────────────────────────────────────┤
│    6120     │  1922   │   0,753   │_                                   │
│             │         │           │1,87680 = -0,12320                  │
├─────────────┼─────────┼───────────┼────────────────────────────────────┤
│    6080     │  1879   │   0,748   │_                                   │
│             │         │           │1,87390 = -0,12610                  │
├─────────────┼─────────┼───────────┼────────────────────────────────────┤
│    6040     │  1917   │   0,743   │_                                   │
│             │         │           │1,87099 = -0,12610                  │
├─────────────┼─────────┼───────────┼────────────────────────────────────┤
│    6000     │  1925   │   0,738   │_                                   │
│             │         │           │1,86806 = -0,13194                  │
├─────────────┼─────────┼───────────┼────────────────────────────────────┤
│    6000     │  1898   │   0,738   │_                                   │
│             │         │           │1,86806 = -0,13194                  │
├─────────────┼─────────┼───────────┼────────────────────────────────────┤
│    5930     │  1878   │   0,729   │_                                   │
│             │         │           │1,86273 = -0,13727                  │
├─────────────┼─────────┼───────────┼────────────────────────────────────┤
│    5860     │  1951   │   0,721   │_                                   │
│             │         │           │1,85794 = -0,14206                  │
├─────────────┼─────────┼───────────┼────────────────────────────────────┤
│    5770     │  1913   │   0,710   │_                                   │
│             │         │           │1,85126 = -0,14874                  │
├─────────────┼─────────┼───────────┼────────────────────────────────────┤
│    5740     │  1886   │   0,706   │_                                   │
│             │         │           │1,84880 = -0,15120                  │
├─────────────┼─────────┼───────────┼────────────────────────────────────┤
│    5740     │  1897   │   0,706   │_                                   │
│             │         │           │1,84880 = -0,15120                  │
├─────────────┼─────────┼───────────┼────────────────────────────────────┤
│    5590     │  1920   │   0,687   │_                                   │
│             │         │           │1,83696 = -0,16304                  │
├─────────────┼─────────┼───────────┼────────────────────────────────────┤
│    5590     │  1901   │   0,687   │_                                   │
│             │         │           │1,83698 = -0,16304                  │
├─────────────┼─────────┼───────────┼────────────────────────────────────┤
│     43      │         │           │              -0,75733              │
├─────────────┼─────────┼───────────┼────────────────────────────────────┤
│Сумма 349660 │         │           │                                    │
└─────────────┴─────────┴───────────┴────────────────────────────────────┘

┌─────────────┬─────────┬───────────┬────────────────────────────────────┐

А.8 Пример приведения к многолетнему периоду ряда и параметров распределения годового стока р. Сьежа - д. Стан по методике, основанной на одновременном использовании и на различных временных этапах нескольких пунктов-аналогов

По ряду р. Сьежа - д. Стан (площадь водосбора равна 407 ) имеются наблюдения за 1971-1992 гг. (n = 22 года). Для приведения ряда к многолетнему периоду выбраны семь предполагаемых аналогов, имеющих различные периоды наблюдений. Так как многочисленные практические расчеты показали, что число одновременно используемых статистически значимых и устойчивых уравнений не превышает трех, перебор расчетных уравнений регрессии, отвечающих требованиям условий (6.1), начинают с одновременного использования трех аналогов. Индексы при значениях q соответствуют номеру аналога согласно таблице А.6. Сведения о предполагаемых аналогах приведены в таблице А.6.

Согласно условиям (6.1) не прошло ни одного уравнения с одновременно используемыми тремя аналогами. С использованием двух аналогов рассчитаны два уравнения, отвечающие этому условию. В данном случае назначено равным 0,60. По уравнению с R = 0,96 и со средней квадратической погрешностью расчета погодичных значений модулей годового стока, равной 0,85 , восстановлено 17 членов ряда (1954-1970 гг.). Объем эквивалентно-независимой информации для среднего равен 14 лет, для дисперсии - 12,3 года. По уравнению с R = 0,93 и со средней квадратической погрешностью расчета погодичных значений модулей годового стока, равной 1,08 , восстановлено 18 членов ряда (1935-1939, 1941-1953 гг.). Объем эквивалентно-независимой информации для среднего равен 13,1 года, для дисперсии - 10,6 лет.

┌─────┬─────────────────────────────────────────┬────────────┬───────────┐
│Номер│               Река-пункт                │  Площадь   │ Число лет │
│ана- │                                         │ водосбора, │наблюдений │
│лога │                                         │    км2     │           │
├─────┼─────────────────────────────────────────┼────────────┼───────────┤
│  1  │р. Волчина - с. Волчинское лесничество   │    2990    │    39     │
├─────┼─────────────────────────────────────────┼────────────┼───────────┤
│  2  │р. Меглинка - с. Русское Пестово         │    700     │    38     │
├─────┼─────────────────────────────────────────┼────────────┼───────────┤
│  3  │р. Кобожа - с. Мощеник                   │    2350    │    54     │
├─────┼─────────────────────────────────────────┼────────────┼───────────┤
│  4  │р. Молога - с. Спас-Забережье            │   10200    │    60     │
├─────┼─────────────────────────────────────────┼────────────┼───────────┤
│  5  │р. Тихвинка - д. Горелуха                │    2070    │    110    │
├─────┼─────────────────────────────────────────┼────────────┼───────────┤
│  6  │р. Мста - с. Березовский рядок           │    5180    │    69     │
├─────┼─────────────────────────────────────────┼────────────┼───────────┤
│  7  │р. Волга - г. Старица                    │   21100    │    102    │
└─────┴─────────────────────────────────────────┴────────────┴───────────┘

┌─────┬─────────────────────────────────────────┬────────────┬───────────┐

При восстановлении погодичных значений модулей стока использованы уравнения с одним аналогом соответственно с меньшим коэффициентом корреляции, чем предыдущие. По уравнению с коэффициентом корреляции, равным 0,90, и со средней квадратической погрешностью 1,26 восстановлен модуль годового стока за 1940 год, что соответствует объему эквивалентно-независимой информации по среднему - 0,8 года, а по дисперсии - 0,6 года. По уравнению с коэффициентом корреляции 0,84 и со средней квадратической погрешностью 1,58 восстановлен сток за 1933, 1934 годы, что соответствует объему эквивалентно-независимой информации соответственно для среднего значения и дисперсии 1,3 и 1,0 лет. По уравнению с коэффициентом корреляции 0,78 и со средней квадратической погрешностью 1,85 восстановлены модули годового стока за 42 года (1891-1932 гг.). Объем независимо-эквивалентной информации для среднего значения равен 12,6 лет, а для дисперсии 6,7 лет. По уравнению с коэффициентом корреляции 0,68 и со средней квадратической погрешностью 2,15 восстановлены модули годового стока за 1882-1890 годы. Объем эквивалентно-независимой информации составил соответственно 2,9 и 1,4 года. Сведения об уравнениях регрессии и их параметрах приведены в таблице А.7.

Таким образом, восстановлены модули годового стока р. Сьежа - д. Стан за период 1882-1970 годы. Вместе с наблюденными данными имеем период 111 лет, что соответствует объему эквивалентно-независимой информации для среднего значения 66,7 лет, а для дисперсии - 54,6 лет. По ряду, приведенному к многолетнему периоду (таблица А.8), рассчитывают параметры распределения согласно разделу 5.

Таблица А.7 - Сведения об уравнениях, по которым восстановлены значения стока р. Сьежа - д. Стан

┌────────────────────────────┬──────────────┬───────────────────────┬────────┬───────┬───────┬───────┬───────┐
│  Уравнения регрессии, по   │   Годы, по   │  Коэффициенты парной  │   R    │сигма_R│N_восст│ N_эq  │  N_э  │
│которым восстановлены модули│   которым    │      корреляции       │        │       │       │       │ сигма │
│       годового стока       │восстановлены │                       │        │       │       │       │       │
│                            │    модули    │                       │        │       │       │       │       │
│                            │годового стока│                       │        │       │       │       │       │
├────────────────────────────┼──────────────┼───────┬───────┬───────┴┬───────┼───────┼───────┼───────┼───────┤
│q  =  -1,08  +     0,92q_1 +│  1954-1970   │ 0,94  │ 0,91  │  0,86  │ 0,96  │ 0,02  │  17   │ 14,0  │ 12,3  │
│0,51q_3                     │              │       │       │        │       │       │       │       │       │
├────────────────────────────┼──────────────┼───────┼───────┼────────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┤
│q  =  -1,17  +     0,78q_3 +│  1935-1939,  │ 0,91  │ 0,88  │  0,85  │ 0,93  │ 0,05  │  18   │ 13,1  │ 10,6  │
│0,70q_4                     │  1941-1953   │       │       │        │       │       │       │       │       │
├────────────────────────────┼──────────────┼───────┼───────┼────────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┤
│q = -0,59 + 1,30q_3         │     1940     │       │       │        │ 0,90  │ 0,05  │   1   │  0,8  │  0,6  │
├────────────────────────────┼──────────────┼───────┼───────┼────────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┤
│q = 1,19 + 1,15q_4          │  1933, 1934  │       │       │        │ 0,84  │ 0,07  │   2   │  1,3  │  1,0  │
├────────────────────────────┼──────────────┼───────┼───────┼────────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┤
│q = -2,08 + 0,59q_5 + 0,6q_7│  1891-1932   │ 0,68  │ 0,67  │  0,51  │ 0,78  │ 0,10  │  42   │ 12,6  │  6,7  │
├────────────────────────────┼──────────────┼───────┼───────┼────────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┤
│q = -0,44 + 0,88q_5         │  1882-1890   │       │       │        │ 0,68  │ 0,13  │   9   │  2,9  │  1,4  │
├────────────────────────────┴──────────────┴───────┴───────┴────────┴───────┴───────┼───────┼───────┼───────┤
│Объем эквивалентно-независимой информации для всего ряда равен                      │  111  │ 66,7  │ 54,6  │
└────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────┴───────┴───────┴───────┘

┌────────────────────────────┬──────────────┬───────────────────────┬────────┬───────┬───────┬───────┬───────┐

┌───────┬───────┬───────┬───────┬───────┬───────┬────────┬───────┬───────┬───────┐
│  Год  │q, л/с │  Год  │q, л/с │  Год  │q, л/с │  Год   │q, л/с │  Год  │q, л/с │
│       │ х км2 │       │ х км2 │       │ х км2 │        │ х км2 │       │ х км2 │
├───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼────────┼───────┼───────┼───────┤
│ 1882  │ 2,99  │ 1905  │ 10,8  │ 1928  │ 11,0  │  1951  │ 8,96  │ 1974  │ 6,28  │
├───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼────────┼───────┼───────┼───────┤
│ 1883  │ 5,73  │ 1906  │ 7,26  │ 1929  │ 7,54  │  1952  │ 11,8  │ 1975  │ 5,95  │
├───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼────────┼───────┼───────┼───────┤
│ 1884  │ 6,48  │ 1907  │ 6,79  │ 1930  │ 6,54  │  1953  │ 14,1  │ 1976  │ 8,27  │
├───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼────────┼───────┼───────┼───────┤
│ 1885  │ 5,73  │ 1908  │ 13,2  │ 1931  │ 7,76  │  1954  │ 8,02  │ 1977  │ 13,0  │
├───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼────────┼───────┼───────┼───────┤
│ 1886  │ 2,99  │ 1909  │ 8,91  │ 1932  │ 10,2  │  1955  │ 14,6  │ 1978  │ 11,7  │
├───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼────────┼───────┼───────┼───────┤
│ 1887  │ 6,61  │ 1910  │ 5,60  │ 1933  │ 8,91  │  1956  │ 10,4  │ 1979  │ 8,70  │
├───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼────────┼───────┼───────┼───────┤
│ 1888  │ 10,7  │ 1911  │ 8,06  │ 1934  │ 8,26  │  1957  │ 13,7  │ 1980  │ 9,15  │
├───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼────────┼───────┼───────┼───────┤
│ 1889  │ 8,11  │ 1912  │ 5,04  │ 1935  │ 12,7  │  1958  │ 13,6  │ 1981  │ 11,3  │
├───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼────────┼───────┼───────┼───────┤
│ 1890  │ 5,05  │ 1913  │ 5,85  │ 1936  │ 7,51  │  1959  │ 9,55  │ 1982  │ 8,18  │
├───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼────────┼───────┼───────┼───────┤
│ 1891  │ 2,84  │ 1914  │ 6,25  │ 1937  │ 3,66  │  I960  │ 6,69  │ 1983  │ 9,78  │
├───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼────────┼───────┼───────┼───────┤
│ 1892  │ 7,61  │ 1915  │ 8,17  │ 1938  │ 4,74  │  1961  │ 10,1  │ 1984  │ 12,0  │
├───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼────────┼───────┼───────┼───────┤
│ 1893  │ 7,41  │ 1916  │ 9,36  │ 1939  │ 3,15  │  1962  │ 11,4  │ 1985  │ 9,15  │
├───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼────────┼───────┼───────┼───────┤
│ 1894  │ 14,4  │ 1917  │ 9,46  │ 1940  │ 3,60  │  1963  │ 4,58  │ 1986  │ 9,01  │
├───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼────────┼───────┼───────┼───────┤
│ 1895  │ 9,51  │ 1918  │ 10,0  │ 1941  │ 6,53  │  1964  │ 5,47  │ 1987  │ 10,4  │
├───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼────────┼───────┼───────┼───────┤
│ 1896  │ 7,15  │ 1919  │ 5,59  │ 1942  │ 8,04  │  1965  │ 8,37  │ 1988  │ 8,48  │
├───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼────────┼───────┼───────┼───────┤
│ 1897  │ 3,95  │ 1920  │ 3,18  │ 1943  │ 5,95  │  1966  │ 12,9  │ 1989  │ 8,45  │
├───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼────────┼───────┼───────┼───────┤
│ 1898  │ 7,69  │ 1921  │ 2,71  │ 1944  │ 3,88  │  1967  │ 7,97  │ 1990  │ 13,6  │
├───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼────────┼───────┼───────┼───────┤
│ 1899  │ 12,6  │ 1922  │ 7,88  │ 1945  │ 5,54  │  1968  │ 9,13  │ 1991  │ 10,7  │
├───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼────────┼───────┼───────┼───────┤
│ 1900  │ 7,94  │ 1923  │ 9,79  │ 1946  │ 7,86  │  1969  │ 7,96  │ 1992  │ 5,65  │
├───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼────────┼───────┼───────┼───────┤
│ 1901  │ 7,06  │ 1924  │ 7,69  │ 1947  │ 8,49  │  1970  │ 7,14  │       │       │
├───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼────────┼───────┼───────┼───────┤
│ 1902  │ 12,5  │ 1925  │ 6,88  │ 1948  │ 6,95  │  1971  │ 3,77  │       │       │
├───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼────────┼───────┼───────┼───────┤
│ 1903  │ 13,0  │ 1926  │ 9,20  │ 1949  │ 5,80  │  1972  │ 3,12  │       │       │
├───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼────────┼───────┼───────┼───────┤
│ 1904  │ 6,83  │ 1927  │ 9,28  │ 1950  │ 8,55  │  1973  │ 3,78  │       │       │
└───────┴───────┴───────┴───────┴───────┴───────┴────────┴───────┴───────┴───────┘

┌───────┬───────┬───────┬───────┬───────┬───────┬────────┬───────┬───────┬───────┐

A.9 Пример восстановления гидрологического ряда с учетом независимой случайной составляющей

В качестве исходной информации взяты среднегодовые расходы воды р. Днепр у г. Орша за 1882-1947 гг. (таблица A.9). Восстановление гидрологического ряда производят по уравнению регрессии с учетом отклонений от линии регрессии по нормальному закону распределения.

Для примера разделим исходный ряд на две части. Предположим, что имеются данные за 1882-1911 гг. и требуется восстановить значения расходов за последующий период с 1912 по 1947 г.

В качестве аналога выбран ряд среднегодовых расходов воды р. Оки у г. Калуги , коэффициент корреляции . Определяют параметры этих рядов за период наблюдений с 1882 по 1911 г.:

р. Днепр: ; ; ;

р. Ока: ; ; .

С учетом этих параметров уравнение регрессии примет вид:

Используя уравнение (А.8) и значения расходов воды реки-аналога за восстанавливаемый период, получаем значения (таблица A.9, столбец 7).

Восстанавливают значения по формуле (А.8), т.е. при условии, что колебания независимой составляющей подчинены нормальному распределению.

Для данного примера в рассчитанные по уравнению (А.8) погодичные значения за период с 1912 по 1947 г. вносят независимую случайную составляющую, определяемую по выражению

Откорректированные значения определяют по формуле

┌────┬───────┬───────────────┬───────┬───────┬────────┬───────┬───────────────┬───────┬───────┐
 │ N  │  Год  │    Данные     │  Год  │Данные │Восста- │Обеспе-│   Случайное   │Откор- │Данные │
│п.п.│       │  наблюдений   │       │наблю- │новлен- │ чен-  │  отклонение   │ректи- │наблю- │
│    │       ├───────┬───────┤       │ дений │  ные   │ ность ├───────┬───────┤рован- │ дений │
│    │       │  x_i  │  y_i  │       │  х_i  │значения│ Р, %  │ фи_pi │18,5 x │  ные  │  у_2  │
│    │       │       │       │       │       │у_i регр│       │       │ фи_pi │восста-│       │
│    │       │       │       │       │       │        │       │       │       │новлен-│       │
│    │       │       │       │       │       │        │       │       │       │  ные  │       │
│    │       │       │       │       │       │        │       │       │       │значе- │       │
│    │       │       │       │       │       │        │       │       │       │ния у_i│       │
├────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼────────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┤
│ 1  │   2   │   3   │   4   │   5   │   6   │   7    │   8   │   9   │  10   │  11   │  12   │
├────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼────────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┤
│ 1  │ 1882  │  299  │ 78,8  │ 1912  │  310  │  129   │ 28,2  │ 0,59  │  11   │  140  │  103  │
├────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼────────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┤
│ 2  │ 1883  │  408  │  148  │ 1913  │  261  │  112   │ 67,0  │ -0,42 │  -8   │  104  │  103  │
├────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼────────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┤
│ 3  │ 1884  │  282  │  128  │ 1914  │  247  │  107   │ 19,7  │ 0,85  │  16   │  123  │ 98,4  │
├────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼────────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┤
│ 4  │ 1885  │  241  │  103  │ 1915  │  398  │  161   │ 68,8  │ -0,47 │  -9   │  152  │  134  │
├────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼────────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┤
│ 5  │ 1886  │  298  │  113  │ 1916  │  347  │  143   │ 75,0  │ -0,67 │  -12  │  131  │  169  │
├────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼────────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┤
│ 6  │ 1887  │  231  │  115  │ 1917  │  418  │  168   │ 11,3  │ 1,20  │  22   │  190  │  177  │
├────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼────────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┤
│ 7  │ 1888  │  292  │  106  │ 1918  │  220  │  96,9  │ 55,2  │ -0,12 │ -2,2  │ 94,7  │  122  │
├────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼────────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┤
│ 8  │ 1889  │  346  │  134  │ 1919  │  313  │  130   │ 11,5  │ 1,19  │  22   │  152  │  113  │
├────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼────────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┤
│ 9  │ 1890  │  188  │ 76,3  │ 1920  │  258  │  111   │ 81,4  │ -0,89 │  -16  │  95   │ 84,8  │
├────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼────────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┤
│ 10 │ 1891  │  198  │  110  │ 1921  │  138  │  67,4  │ 31,8  │ 0,80  │  15   │ 82,4  │ 60,3  │
├────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼────────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┤
│ 11 │ 1892  │  332  │  106  │ 1922  │  184  │  83,9  │ 42,3  │ 0,20  │  3,7  │ 87,6  │  124  │
├────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼────────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┤
│ 12 │ 1893  │  350  │  118  │ 1925  │  234  │  102   │ 17,7  │ 0,92  │  17   │  119  │ 99,5  │
├────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼────────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┤
│ 13 │ 1894  │  240  │  118  │ 1926  │  360  │  147   │ 5,68  │ 1,57  │  29   │  176  │  130  │
├────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼────────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┤
│ 14 │ 1895  │  435  │  184  │ 1927  │  362  │  148   │ 53,0  │ -0,05 │  -9   │  139  │  193  │
├────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼────────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┤
│ 15 │ 1896  │  373  │  141  │ 1928  │  382  │  155   │ 94,5  │ -1,60 │  -30  │  125  │  150  │
├────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼────────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┤
│ 16 │ 1897  │  296  │  119  │ 1929  │  314  │  131   │ 0,18  │ 2,90  │  54   │  185  │  150  │
├────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼────────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┤
│ 17 │ 1898  │  210  │ 92,2  │ 1930  │  176  │  81,1  │ 87,5  │ -1,12 │ -20,7 │ 60,4  │  956  │
├────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼────────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┤
│ 18 │ 1899  │  281  │  163  │ 1931  │  404  │  163   │ 88,7  │ -1,20 │  -22  │  141  │  151  │
├────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼────────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┤
│ 19 │ 1900  │  281  │  118  │ 1932  │  337  │  139   │ 20,1  │ 0,84  │  16   │  155  │  158  │
├────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼────────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┤
│ 20 │ 1901  │  333  │  132  │ 1933  │  449  │  179   │ 60,9  │ -0,26 │  -5   │  174  │  202  │
├────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼────────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┤
│ 21 │ 1902  │  382  │  188  │ 1934  │  274  │  116   │ 51,4  │ -0,02 │   0   │  116  │  127  │
├────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼────────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┤
│ 22 │ 1903  │  259  │  120  │ 1935  │  217  │  95,8  │ 54,2  │ -0,10 │ -1,9  │ 93,9  │  125  │
├────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼────────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┤
│ 23 │ 1904  │  235  │ 93,0  │ 1936  │  281  │  119   │ 57,9  │ -0,18 │  -3   │  117  │  128  │
├────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼────────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┤
│ 24 │ 1905  │  326  │  135  │ 1937  │  304  │  127   │ 2,33  │ 2,00  │  37   │  164  │  102  │
├────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼────────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┤
│ 25 │ 1906  │  329  │  133  │ 1938  │  228  │  99,8  │ 76,1  │ -0,70 │  -13  │ 86,8  │  107  │
├────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼────────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┤
│ 26 │ 1907  │  378  │  136  │ 1939  │  218  │  96,2  │ 63,2  │ -0,30 │ -5,6  │ 90,6  │ 83,8  │
├────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼────────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┤
│ 27 │ 1908  │  540  │  229  │ 1940  │  252  │  108   │ 27,6  │ 0,60  │  11   │  119  │  125  │
├────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼────────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┤
│ 28 │ 1909  │  389  │  175  │ 1945  │  245  │  106   │ 6,33  │ 1,50  │  28   │  134  │  100  │
├────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼────────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┤
│ 29 │ 1910  │  240  │ 99,3  │ 1946  │  312  │  130   │ 64,1  │ -0,35 │  -6   │  124  │  103  │
├────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼────────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┤
│ 30 │ 1911  │  219  │  102  │ 1947  │  376  │  153   │ 28,4  │ 1,56  │  10   │  164  │  171  │
└────┴───────┴───────┴───────┴───────┴───────┴────────┴───────┴───────┴───────┴───────┴───────┘

┌────┬───────┬───────────────┬───────┬───────┬────────┬───────┬───────────────┬───────┬───────┐

Расчет производят в следующем порядке (таблица А.9):

1) выписывают из таблицы равномерно распределенных случайных чисел (таблица А.10) 30-членный ряд четырехзначных случайных чисел . От значений переходят к значениям обеспеченностей (таблица А.9, столбец 8);

2) переход от обеспеченностей к величине отклонения осуществляют с помощью стандартного нормативного или гамма-распределения [5];

3) полученное значение относят к стандартному отклонению , т.е. умножают на (таблица А.9, столбец 10);

4) суммируя погодичные значения (таблица А.9, столбец 7) и рассчитанные по формуле (А.9) отклонения , определяют по формуле (А.10) ряд значений , восстановленных с учетом независимой случайной составляющей, распределенной по нормальному закону.

┌───────────────────────────────────┬────────────────────────────────────┐
│               2822                │                0018                │
├───────────────────────────────────┼────────────────────────────────────┤
│               6703                │                8751                │
├───────────────────────────────────┼────────────────────────────────────┤
│               1970                │                8870                │
├───────────────────────────────────┼────────────────────────────────────┤
│               6881                │                2010                │
├───────────────────────────────────┼────────────────────────────────────┤
│               7502                │                6091                │
├───────────────────────────────────┼────────────────────────────────────┤
│               1134                │                5144                │
├───────────────────────────────────┼────────────────────────────────────┤
│               5523                │                5422                │
├───────────────────────────────────┼────────────────────────────────────┤
│               1154                │                5793                │
├───────────────────────────────────┼────────────────────────────────────┤
│               8142                │                0233                │
├───────────────────────────────────┼────────────────────────────────────┤
│               3183                │                7614                │
├───────────────────────────────────┼────────────────────────────────────┤
│               4230                │                5320                │
├───────────────────────────────────┼────────────────────────────────────┤
│               1771                │                2761                │
├───────────────────────────────────┼────────────────────────────────────┤
│               0568                │                0633                │
├───────────────────────────────────┼────────────────────────────────────┤
│               5304                │                6412                │
├───────────────────────────────────┼────────────────────────────────────┤
│               9452                │                2840                │
└───────────────────────────────────┴────────────────────────────────────┘

┌───────────────────────────────────┬────────────────────────────────────┐

А.10 Пример восстановления погодичных значений стока с учетом материалов кратковременных наблюдений